Factors and Multiples CTET Notes 2026 — LCM & HCF की पूरी तैयारी

📖 Basic Concepts: Factors & Multiples (गुणनखंड और गुणज)

🔹 Factor (गुणनखंड) — Definition

Factor: वह संख्या जो किसी दी गई संख्या को पूर्णतः (बिना शेषफल के) विभाजित करती है, उसे उस संख्या का गुणनखंड (Factor) कहते हैं[reference:4]।

Example: 24 के factors = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 (क्योंकि ये सभी 24 को पूर्णतः विभाजित करते हैं)।

Important Properties of Factors:

• 1, हर संख्या का एक factor होता है[reference:5]।
• हर संख्या (शून्य के अलावा) स्वयं का एक factor होती है[reference:6]।
• किसी संख्या के factors की संख्या finite (सीमित) होती है।
• Factor हमेशा उस संख्या से less than or equal to होता है[reference:7]।

🔸 Multiple (गुणज) — Definition

Multiple: किसी संख्या को किसी पूर्ण संख्या (whole number) से गुणा करने पर प्राप्त परिणाम को उस संख्या का गुणज (Multiple) कहते हैं[reference:8][reference:9]।

Example: 3 के multiples = 3, 6, 9, 12, 15, 18, … (3 × 1, 3 × 2, 3 × 3, …)

Important Properties of Multiples:

• हर संख्या, 1 की multiple होती है[reference:10]।
• हर संख्या स्वयं की एक multiple होती है[reference:11]।
• किसी संख्या के multiples की संख्या infinite (असीमित) होती है।
• Multiple हमेशा उस संख्या से greater than or equal to होता है[reference:12]।

🔹 Common Factors & Common Multiples (सार्व गुणनखंड और सार्व गुणज)

Common Factors: दो या दो से अधिक संख्याओं के उभयनिष्ठ (common) गुणनखंड।

Example: 12 और 18 के common factors = 1, 2, 3, 6

Common Multiples: दो या दो से अधिक संख्याओं के उभयनिष्ठ (common) गुणज[reference:13][reference:14]।

Example: 3 और 4 के common multiples = 12, 24, 36, …

🎯 LCM (Least Common Multiple) — लघुत्तम समापवर्त्य

🔹 LCM की परिभाषा

LCM (Least Common Multiple): दो या दो से अधिक संख्याओं का सबसे छोटा सार्व गुणज (smallest common multiple)[reference:15]।

Example: 4 और 6 का LCM = 12 (क्योंकि 12, 4 और 6 दोनों का सबसे छोटा common multiple है)।

🔸 LCM निकालने की विधियाँ

Method 1: Prime Factorization Method (अभाज्य गुणनखंड विधि)

Steps:

1. प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंड (prime factorization) करें。
2. प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की अधिकतम घात (maximum power) लें जो किसी भी संख्या में आती है[reference:16]。
3. इन सभी को गुणा करें — यही LCM है。

Example: 12 और 18 का LCM निकालें:

• 12 = 2² × 3
• 18 = 2 × 3²
• LCM = 2² × 3² = 4 × 9 = 36

Method 2: Division Method (भाग विधि)

सभी संख्याओं को एक साथ अभाज्य संख्याओं से विभाजित करें जब तक कि सभी 1 न हो जाएँ। सभी भाजकों (divisors) का गुणनफल LCM होता है।

Method 3: Formula Method (सूत्र विधि) — केवल दो संख्याओं के लिए

LCM = (a × b) / HCF(a, b)[reference:17][reference:18]

🔹 LCM की Important Properties

• LCM हमेशा HCF से divisible होता है[reference:19][reference:20]।
• LCM, दी गई संख्याओं में से प्रत्येक का multiple होता है。
• यदि दो संख्याएँ co-prime (सह-अभाज्य) हैं, तो उनका LCM = a × b[reference:21][reference:22]。

🎯 HCF (Highest Common Factor) — महत्तम समापवर्तक

🔹 HCF की परिभाषा

HCF (Highest Common Factor): दो या दो से अधिक संख्याओं का सबसे बड़ा सार्व गुणनखंड (greatest common factor)[reference:23][reference:24]।

Example: 24 और 36 का HCF = 12 (क्योंकि 12, 24 और 36 दोनों का सबसे बड़ा common factor है)।

🔸 HCF निकालने की विधियाँ

Method 1: Prime Factorization Method

Steps:

1. प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंड करें。
2. सभी संख्याओं में common अभाज्य गुणनखंडों की न्यूनतम घात (minimum power) लें。
3. इन सभी को गुणा करें — यही HCF है。

Example: 24 और 36 का HCF निकालें:

• 24 = 2³ × 3
• 36 = 2² × 3²
• HCF = 2² × 3 = 4 × 3 = 12

Method 2: Division Method (Euclidean Algorithm)

बड़ी संख्या को छोटी संख्या से विभाजित करें, फिर शेषफल को भाजक से विभाजित करें, यह प्रक्रिया तब तक जारी रखें जब तक शेषफल 0 न हो जाए। अंतिम भाजक HCF होता है。

Method 3: Formula Method

HCF = (a × b) / LCM(a, b)

🔹 HCF की Important Properties

• HCF हमेशा दी गई संख्याओं का factor होता है[reference:25][reference:26]。
• HCF, LCM का एक factor होता है[reference:27][reference:28]。
• यदि दो संख्याएँ co-prime हैं, तो उनका HCF = 1[reference:29][reference:30]。

🔗 LCM और HCF के बीच संबंध (Relationship between LCM and HCF)

🔹 मूल सूत्र (Fundamental Formula)

किन्हीं दो संख्याओं a और b के लिए:

LCM(a, b) × HCF(a, b) = a × b

यह formula CTET में सबसे अधिक पूछा जाने वाला formula है[reference:31][reference:32]。

🔸 Important Derived Relations

• HCF × LCM = Product of two numbers — यही core relation है。
• यदि HCF दिया हो और LCM निकालना हो: LCM = (a × b) / HCF
• यदि LCM दिया हो और HCF निकालना हो: HCF = (a × b) / LCM
• HCF हमेशा LCM को विभाजित करता है (HCF divides LCM)[reference:33][reference:34]。
• LCM हमेशा HCF का multiple होता है。

🔹 तीन या अधिक संख्याओं के लिए

तीन संख्याओं a, b, c के लिए कोई सरल direct formula नहीं है, लेकिन:

• LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)
• HCF(a, b, c) = HCF(HCF(a, b), c)

🧮 Fractions (भिन्नों) का LCM और HCF

CTET में कभी-कभी भिन्नों (fractions) का LCM या HCF पूछ लिया जाता है। इनके लिए अलग formulas हैं:

🔹 भिन्नों का LCM

LCM of fractions = LCM of Numerators ÷ HCF of Denominators

Example: 2/3 और 4/5 का LCM निकालें:

• Numerators: 2 और 4 → LCM = 4
• Denominators: 3 और 5 → HCF = 1
• LCM = 4 ÷ 1 = 4

🔸 भिन्नों का HCF

HCF of fractions = HCF of Numerators ÷ LCM of Denominators

Example: 2/3 और 4/5 का HCF निकालें:

• Numerators: 2 और 4 → HCF = 2
• Denominators: 3 और 5 → LCM = 15
• HCF = 2 ÷ 15 = 2/15

⚡ CTET 2026 — LCM & HCF पर आधारित PYQs (Previous Year Questions)

यहाँ CTET 2026 और पिछले वर्षों के कुछ important solved questions दिए गए हैं:

🔹 PYQ 1 — CTET Paper I (08 Feb 2026 Shift 2)

Question: यदि दो संख्याओं का HCF 18 है, तो निम्नलिखित में से कौन सा उनका LCM नहीं हो सकता है?[reference:35]

Options: (1) 144, (2) 128, (3) 108, (4) 72

Solution: LCM हमेशा HCF से पूर्णतः विभाज्य (divisible) होना चाहिए[reference:36]। HCF = 18 है, इसलिए LCM, 18 का multiple होना चाहिए।

• 144 ÷ 18 = 8 ✓ (Divisible)
• 128 ÷ 18 = 7.11 ✗ (Not divisible)
• 108 ÷ 18 = 6 ✓ (Divisible)
• 72 ÷ 18 = 4 ✓ (Divisible)

Answer: Option 2 — 128[reference:37]

🔸 PYQ 2 — CTET Paper II (15 Dec 2024 Shift 1)

Question: यदि दो संख्याओं का LCM 392 है, तो निम्नलिखित में से कौन सा उनका HCF नहीं हो सकता है?[reference:38]

Options: (1) 56, (2) 196, (3) 28, (4) 42

Solution: HCF, LCM का एक factor (गुणनखंड) होना चाहिए[reference:39]। 392 का prime factorization = 2³ × 7²[reference:40]।

• 56 = 2³ × 7 → 392 का factor ✓
• 196 = 2² × 7² → 392 का factor ✓
• 28 = 2² × 7 → 392 का factor ✓
• 42 = 2 × 3 × 7 → 3, 392 का factor नहीं है ✗[reference:41]

Answer: Option 4 — 42[reference:42]

🔹 PYQ 3 — CTET Paper II (17 Jan 2022)

Question: यदि a = 360 और b = 900 है, तो (LCM of a and b) ÷ (HCF of a and b) का मान क्या है?[reference:43]

Solution:

• 360 = 2³ × 3² × 5
• 900 = 2² × 3² × 5²
• HCF = 2² × 3² × 5 = 180[reference:44]
• LCM = 2³ × 3² × 5² = 1800[reference:45]
• LCM ÷ HCF = 1800 ÷ 180 = 10[reference:46]

Answer: 10[reference:47]

🔸 PYQ 4 — CTET Paper I (12 Jan 2022)

Question: Factors and multiples के बारे में निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?[reference:48]

Options: (1) 11, 100 का factor है, (2) 48, 3 का multiple है, (3) 11, 110 का multiple है, (4) 48, 3 का factor है[reference:49]

Solution:

• Option 1: 11, 100 को पूर्णतः विभाजित नहीं करता — ✗[reference:50]
• Option 2: 48 = 3 × 16 — ✓[reference:51]
• Option 3: 11, 110 से छोटा है, multiple नहीं हो सकता — ✗[reference:52]
• Option 4: Factor हमेशा संख्या से ≤ होता है — ✗[reference:53]

Answer: Option 2 — 48, 3 का multiple है[reference:54]

🧠 Smart Tricks & Shortcuts — CTET 2026 के लिए

🔹 Trick 1: LCM और HCF के बीच संबंध

हमेशा याद रखें: HCF × LCM = Product of two numbers। CTET में इस formula पर आधारित 1–2 प्रश्न निश्चित रूप से आते हैं。[reference:55]

🔸 Trick 2: LCM की Divisibility Check

यदि HCF दिया हो और LCM के options दिए हों, तो LCM को HCF से विभाजित करके देखें — जो option पूर्णतः विभाजित नहीं होता, वही answer है[reference:56][reference:57]।

🔹 Trick 3: HCF की Divisibility Check

यदि LCM दिया हो और HCF के options दिए हों, तो HCF को LCM का factor होना चाहिए — जो option LCM को विभाजित नहीं करता, वही answer है[reference:58]。

🔸 Trick 4: Co-prime Numbers

यदि दो संख्याएँ co-prime हैं (HCF = 1), तो उनका LCM = a × b[reference:59]। CTET में co-prime numbers पर भी प्रश्न आ सकते हैं。

🔹 Trick 5: LCM और HCF of Fractions

भिन्नों का LCM = अंशों का LCM ÷ हरों का HCF
भिन्नों का HCF = अंशों का HCF ÷ हरों का LCM[reference:60][reference:61]

⚠️ Common Mistakes — CTET 2026 में इनसे बचें

🔹 Mistake 1: LCM और HCF को आपस में मिलाना

कई students LCM को HCF और HCF को LCM समझ लेते हैं। LCM हमेशा बड़ा होता है, HCF हमेशा छोटा होता है — इस simple check से गलती से बचा जा सकता है。

🔸 Mistake 2: HCF, LCM का factor होता है — इसे भूलना

यह सबसे important property है जिस पर PYQs based हैं। HCF हमेशा LCM को विभाजित करता है — यदि कोई option इस नियम को violate करता है, तो वह सही नहीं हो सकता[reference:62]。

🔹 Mistake 3: Prime Factorization में घातों को गलत लेना

LCM के लिए अधिकतम घात और HCF के लिए न्यूनतम घात लेनी होती है — इन्हें आपस में मिलाने से पूरा answer गलत हो जाता है。

🔸 Mistake 4: Fractions के LCM/HCF में Numerators और Denominators को उल्टा लेना

भिन्नों के LCM में अंशों का LCM और हरों का HCF लेते हैं — ठीक उल्टा करने पर answer गलत आता है[reference:63]。

📝 CTET 2026 — Practice MCQs (Self-Assessment)

अपनी तैयारी को test करने के लिए ये 5 MCQs solve करें:

1. Q1: 24 और 36 का HCF क्या है?
   (A) 6   (B) 12   (C) 18   (D) 24
2. Q2: 12 और 18 का LCM क्या है?
   (A) 24   (B) 36   (C) 48   (D) 72
3. Q3: यदि दो संख्याओं का HCF 15 है और उनका LCM 90 है, तो संख्याओं का गुणनफल क्या है?
   (A) 1350   (B) 1050   (C) 1250   (D) 1450
4. Q4: 48, 72 और 108 का LCM क्या है?
   (A) 432   (B) 216   (C) 864   (D) 1296
5. Q5: 2/3 और 4/9 का HCF क्या है?
   (A) 2/3   (B) 2/9   (C) 4/3   (D) 4/9

Answers (नीचे देखें): Q1: B, Q2: B, Q3: A, Q4: A, Q5: B

📚 Revision Notes — One Page Summary (एक पेज में पूरा revision)

🔹 Factors (गुणनखंड)

• वह संख्या जो दी गई संख्या को पूर्णतः विभाजित करे।
• 1 और स्वयं, हर संख्या के factors होते हैं。
• Factors की संख्या finite होती है。

🔸 Multiples (गुणज)

• किसी संख्या को किसी पूर्ण संख्या से गुणा करने पर प्राप्त परिणाम。
• Multiples की संख्या infinite होती है。

🔹 LCM (लघुत्तम समापवर्त्य)

• दो या अधिक संख्याओं का सबसे छोटा common multiple。
• LCM = Product of maximum powers of all prime factors。
• LCM = (a × b) / HCF

🔸 HCF (महत्तम समापवर्तक)

• दो या अधिक संख्याओं का सबसे बड़ा common factor。
• HCF = Product of minimum powers of common prime factors。
• HCF = (a × b) / LCM

🔹 Core Relation

LCM × HCF = a × b

🔸 Fractions के लिए

• LCM (Fractions) = LCM (Numerators) / HCF (Denominators)
• HCF (Fractions) = HCF (Numerators) / LCM (Denominators)

🔹 Divisibility Rule

• HCF, LCM को हमेशा विभाजित करता है。
• LCM, HCF का हमेशा multiple होता है。

📌 Locked Tile — CTET 2026 Maths: Number System का पूरा roadmap

यह topic CTET Maths 2026 के Number System का एक हिस्सा है। पूरे Number System की तैयारी के लिए इन topics को भी cover करें:

• Types of Numbers: Natural, Whole, Integers, Prime, Composite, Co-prime
• Divisibility Rules: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11
• Prime Factorization: LCM और HCF की foundation
• Fractions & Decimals: LCM/HCF of fractions, decimal operations

📖 Recommended: NCERT Class 6 Maths — Chapter 3 (Playing with Numbers) और Class 7 Maths — Chapter 1 (Integers) को पढ़ें。

🔗 Memory Maps — Quick Recall Link

CTET 2026 के लिए LCM और HCF की complete memory map यहाँ देखें: LCM & HCF Memory Map for CTET 2026 — इसमें सभी formulas, tricks और PYQs का visual summary दिया गया है。

📖 Recommended Books & Resources for CTET 2026 Maths

• NCERT Mathematics: Class 6 (Chapter 3: Playing with Numbers), Class 7 (Chapter 1: Integers)
• CTET Success Master Maths & Pedagogy: Arihant Publications — LCM/HCF पर dedicated chapter
• CTET Previous Year Papers: Testbook.com पर उपलब्ध PYQs[reference:64]
• Official CTET Syllabus 2026: ctet.nic.in पर available[reference:65]

📌 Section 8C — अगले topics (What to Study Next?)

Factors, Multiples, LCM और HCF को पूरी तरह समझने के बाद CTET Maths में आगे इन topics को पढ़ें:

1. Fractions & Decimals — LCM/HCF of fractions, comparison of fractions, operations on fractions
2. Integers & Their Properties — Number line, operations, properties of integers
3. Ratio & Proportion — Comparison of quantities, unitary method, application of LCM/HCF in ratio problems

ये तीनों topics Number System से directly connected हैं और CTET 2026 में इनसे भी प्रश्न पूछे जाते हैं。

❓ Frequently Asked Questions (FAQs) — CTET 2026 LCM & HCF

Q1: CTET 2026 में LCM और HCF से कितने questions पूछे जाते हैं?

Answer: CTET Paper I और Paper II दोनों में Number System से 5–8 questions आते हैं, जिनमें LCM और HCF पर आधारित 2–4 questions निश्चित रूप से पूछे जाते हैं[reference:66]।